1、外接球。

边长为a的正四面体可以看成是边长是（√2/2）a的正方体截出来的，则其外接球直径是正方体边长的√3倍。

2、内切球半径。

设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就产生四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以求出内切球半径R的值。

四面体为正四面体的充要条件是

其棱均做为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为正方体。

四面体为正四面体的充要条件是，其共顶点三i棱作为外接平行六面体的棱时，平行六面体为一个三面角面角均为60°的菱形六面体。

四面体为正四体的充要条件是，四面体在平行于两棱的每一个平面的射影是正方形。

四面体为正四面体的充要条件是，四面体的展开图是一个引出了三条中位线的正三角形。

正四面体每条高的中点与底面三角形三顶点均构成直角四面体的四顶点，且高的中点为址三面角顶点。

以上内容参考：百度百科-正四面体

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