空间曲线的弧长积分，只有化为参数方程是常用的

对于Γ：F(x，y，z)和G(x，y，z) = 0

往往可以设为参数方程：x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)

ds = √(dx² + dy² + dz²) dt = √[x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²] dt

代入之后就是一个普通的定积分

∫L ƒ(x，y，z) ds

= ∫(α→β) ƒ[x(t)，y(t)，z(t)] * √[x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²] dt

例如Γ是球面x² + y² + z² = 9/2与平面x + z = 1的交线。

将z = 1 - x代入球面方程得(1/2)(x - 1/2)² + (1/4)y² = 1

即[(x - 1/2)/√2]² + (y/2)² = 1

令(x - 1/2)/√2 = cost，y/2 = sint

即x = 1/2 + √2cost，y = 2sint

z = 1 - x = 1 - (1/2 + √2cost) = 1/2 - √2cost

{ x = 1/2 + √2cost

{ y = 2sint

{ z = 1/2 - √2cost

0 ≤ t ≤ 2π

ds = √[x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²] dt = 2 dt

所以∫L ƒ(x，y，z) ds

= ∫(0→2π) ƒ(1/2 + √2cost，2sint，1/2 - √2cost) * 2 dt

若ƒ(x，y，z)与曲线方程符合的话，也先将曲线方程代入ƒ(x，y，z)中化简积分

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文章来源：天狐定制

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