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高数这题是怎么证明出来的

作者：职业培训 时间： 2025-01-18 11:58:12 阅读：356

任意函数都能分解成g(x)+h(x).

其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数

证明:

先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式

则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式

奇函数性质:g(x)=-g(-x)

偶函数性质:h(x)=h(-x)

那么分别拿1式+2式,1式-2式得到:

f(x)+f(-x)=2h(x)

f(x)-f(-x)=2g(x)

由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数

g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数

h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数

所以：g(x)+h(x)=f(x)

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文章来源：天狐定制

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