此题的已知条件就是椭圆方程的三个参数a,b,c

要求证明为椭圆上一点A(x,y)到准线x=f的距离和到焦点F1的距离之比为一常数e,并求出e和f。

其实求出了e和f，自然也就证明了原命题。

(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0

(1-e²)x²+(2e²f-2c)x+y²+c²-e²f²=0

令2c=2e²f目的是为了消去一次项.其实这种证明方法的出发点就是，既然e是个常数，那么应该和x，y的取值都无关，所以它们的系数都为零，即都应该在化简过程中被消去。

其实如果进一步化简，我觉得会更有说服力：

利用椭圆方程得到：y²=b²-(b²/a²)x²

(1-e²)x²+(2e²f-2c)x+b²-(b²/a²)x²+c²-e²f²=0

然后利用a²-b²=c²进一步化简：

[(c²/a²)-e²]x²+(2e²f-2c)x+a²-e²f²=0

若要等式恒成立，必须同时满足下列三个条件：

①(c²/a²)-e²=0

②2e²f-2c=0

③a²-e²f²=0

由①解得：e=c/a

由②解得：f=c/e²=a²/c

代入③检验，等式成立，于是原命题得证。

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文章来源：天狐定制

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