积分第一中值定理：若f在[a,b]上连续，则至少存在一点c属于[a,b],使得在[a,b]上的积分值等于f(c)(b-a)

推广：若f与g都在[a,b]上连续，且g在[a,b]上不变号，则至少存在一点c属于[a,b],使得f乘以g在[a,b]上的积分等于f(c)乘以g在[a,b]上的积分。

积分第二中值定理：设函数f在[a,b]上可积，1：若函数g在[a,b]上递减，且g大于等于0，则存在一点c属于[a,b]，使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(a)乘以（f在[a,c]上的积分）。2：若函数g在[a,b]上递增，且g大于等于0，则存在一点d属于[a,b]，使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(b)乘以（f在[d,b]上的积分）。

推论：设函数f在[a,b]上可积。若g为单调函数，则存在一点c属于[a,b]，使得(f乘以g)的积分等于g(a)乘以(f在[a,c]上的积分)加上g(b)乘以(f在[c,b]上的积分)

证明太多，你可以参看由华东师范大学数学系编的数学分析217页和222页，数学分析书上应该都有。

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文章来源：天狐定制

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