在使用惰性电极电解不同溶液的过程中，阴极质量增加且电解后pH下降的情况主要发生在特定的电解体系中。具体来说，电解CuSO4溶液时，阴极上析出铜，反应方程式为2 CuSO4 + 2 H2O → 2 H2SO4 + O2 + 2 Cu，因此阴极质量增加，同时生成的硫酸会导致pH下降。

而NaOH溶液的电解主要是电解水的过程，NaOH本身不会发生反应。随着电解的进行，水的减少会导致NaOH浓度增加，pH值也随之增大，因此电解NaOH溶液时阴极质量不会增加，pH上升，这与题设条件不符，所以错误。

电解BaCl2溶液时，反应会生成Ba(OH)2、Cl2和H2，反应方程式为BaCl2 + 2 H2O → Ba(OH)2 + Cl2 + H2。生成的Ba(OH)2使pH增大，阴极质量不会增加，同样不符合题设条件，因此错误。

电解H2SO4时，电解质主要是水，H2SO4不会发生反应。随着水的减少，H2SO4的浓度会增大，但pH值实际上是减小的，因为生成的水减少使得H2SO4的酸性增强，这也与题设不符，因此错误。

综上所述，只有电解CuSO4时，阴极质量增加且pH下降，因此正确答案为A。

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