微分学中的等价无穷代换：理解与应用

一、等价无穷小的基石

当函数 f(x) 和 g(x) 在某个点趋于零时，它们的等价无穷小关系可以表示为：

f(x) ≈ g(x)，当 h(x) → 0

1/h(x) ≈ 0

sin(x)/x ≈ 1（当 x → 0）

ln(1+x) ≈ x（当 x → 0）

(1+x)^n ≈ 1+nx（当 n 为常数且 x → 0）

e^x ≈ 1+x（当 x → 0）

二、等价无穷大的探索

当函数 f(x) 和 g(x) 在某个点趋于正无穷或负无穷时，它们的等价无穷大关系如下：

f(x) ≫ g(x)，当 g(x) → ∞

1/x ≫ 0（当 x → 0）

三、无穷代换的奥秘

1. 原理揭示

无穷代换的核心在于两个原则：极限约分和泰勒展开。例如，当求极限 lim (f(x)/g(x))，若存在 h(x) 使得 lim h(x) = 1，则有 f(x)/g(x) ≈ f(x)/[g(x)h(x)]，即使 f(x) 和 g(x) 不一定是无穷量。

2. 迭代应用

对 lim (f(x)/g(x))，若已知 f'(x)/g'(x) 有极限，可迭代使用无穷代换。例如，通过 f(x) ≈ f'(x) * Δx 和 g(x) ≈ g'(x) * Δx，可从 lim [f(x)/g(x)] 推导出 lim [f'(x)/g'(x)]。

3. 洛必达法则的巧用

洛必达法则指出，如果 ∫f(x)dx 和 ∫g(x)dx 的不定积分形式存在且极限可求，即使分子分母是无穷小，它们的比值仍保持不变。比如，lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x))。

4. 传递性验证

无穷代换的性质还包括传递性，即若 lim f(x)/g(x) = L，且 lim g(x)/h(x) = L'，则有 lim f(x)/h(x) = L * L'。

实战演练

例1. 求极限 lim (x^2/(x^3+1))。

解：通过等价无穷小替换，当 x → ∞，(x^3+1) ≈ x^3，从而得到 lim (x^2/(x^3+1)) ≈ lim (x^2/x^3)，即 lim (1/x)，显然结果是 0。

例2. 求极限 lim (sin(x)/x^2)。

解：设 u = x^2，则有 lim (sin(x)/x^2) = lim (sin(√u)/u)，利用泰勒展开，得 lim (sin(√u)/u) = lim (1/2√u) = 0。

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文章来源：天狐定制

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