向量的运算公式包括以下几种：

加法与减法：向量加法是对应坐标相加，即 + = ；向量减法也是对应坐标相减。加法和减法遵循平行四边形的法则或三角形法则。向量的和与差的结果仍是一个向量。这意味着它们的方向保持一致。而向量减法的几何意义是表示平移运动。

数乘运算：数乘运算涉及向量与一个标量相乘，结果是一个与原向量共线但长度不同的向量。如果乘数是正数，则结果向量与原向量方向相同；若为负数，则方向相反。公式表示为 k * = 。同时需要注意，任何向量与零相乘都将得到零向量。另外数乘运算是满足分配律的。这种运算在数学、物理等领域中具有重要的应用价值。

数量积：数量积也称为点积或标量积，其结果是一个标量而非向量。计算公式为 A·B = |A| * |B| * cosθ。θ代表两向量的夹角。两个向量的点积的绝对值越大表示它们的夹角度越小；当两个向量方向一致时其绝对值最大；而当两向量垂直时，其值则为零。此外，向量与自身的点积表示其模长的平方，这是求解向量的长度的重要公式之一。点积在物理上常用于计算两个力的夹角或计算一个力的大小和方向上的投影等场景。此外，还有向量投影公式、向量垂直公式等。这些公式共同构成了向量的运算体系。

综上所述，向量的运算包括加法与减法、数乘运算和数量积等几种主要运算方式，每种运算都有其特定的公式和应用场景。对这些公式的理解和掌握，有助于更深入地理解向量的概念及其在数学和物理等领域的应用价值。

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文章来源：天狐定制

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