泰勒展开式是数学中一种重要的工具，它为函数在某一点的局部行为提供了精确的近似。以下是几种常见的泰勒展开公式:

自然指数函数的展开：e^x ≈ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ... (x 的所有实数)

对数函数的展开：ln(1+x) ≈ x - x^2/2 + x^3/3 - ... + (-1)^(k-1)*x^k/k (|x|<1)

三角函数的展开：sinx ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)! (-∞<x<∞)

cosx ≈ 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... + (-1)^k*x^(2k)/(2k)! (-∞<x<∞)

反三角函数：arcsinx ≈ x + x^3/3 + x^5/5*... (|x|<1)

arccosx ≈ π - (x + x^3/3 + x^5/5*...) (|x|<1)

arctanx ≈ x - x^3/3 + x^5/5*... (x≤1)

双曲函数：sinh(x) ≈ x + x^3/3! + x^5/5! + ... + (-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)! (-∞<x<∞)

cosh(x) ≈ 1 + x^2/2! + x^4/4! + ... + (-1)^k*x^(2k)/(2k)! (-∞<x<∞)

arcsinhx ≈ x - x^3/2 + x^5/2*... (|x|<1)

arctanhx ≈ x + x^3/3 + x^5/5*... (|x|<1)

泰勒展开式的余项分为皮亚诺余项和拉格朗日余项两种类型，前者用于定性分析，后者则用于定量计算。选择哪类余项取决于具体问题的需求，如求极限或进行近似计算。

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文章来源：天狐定制

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