第一问，根据消费者均衡原理，我们可以得到以下两个基本条件：

1. 消费者预算约束方程：\(P_1 \cdot Q_1 + P_2 \cdot Q_2 = M\)，其中\(M\)代表消费者的收入。

2. 边际效用与价格之比等于收入：\(\frac{MU_1}{P_1} + \frac{MU_2}{P_2} = MU_m\)，其中\(MU_m\)是一个常数，表示消费者的总边际效用。

由于边际效用\(MU_1\)可以表示为消费者对商品1的偏好程度的变化率，即\(MU_1 = \frac{dU}{dQ_1}\)，同理，\(MU_2 = \frac{dU}{dQ_2}\)。将这些关系代入第二个条件中，我们得到：

3. 边际效用与价格之比相等：\(2Q_1 \cdot P_1 = Q_2 \cdot P_2\)。

通过这个关系，我们可以解出商品1和商品2的需求量\(Q_1\)和\(Q_2\)的表达式，即两种商品的需求函数。

第二问，将消费者的收入\(m\)、商品1的价格\(p_1\)和商品2的价格\(p_2\)代入上述需求函数中，我们就可以得到消费者在均衡状态下的购买量\(q_1\)和\(q_2\)。

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