对于梯度的方向，常见的误解是认为它与等值面正交。然而，在二元函数中，梯度实际上是等值线的法向量，而不是等值面的法向量。梯度和等值面是平行关系，或者梯度位于等值面内部。

让我们以二元函数 z = f(x, y) 为例进行说明。点 P 的梯度向量 V1 可以表示为 (fx(P), fy(P))。如果设等值线函数为 g(x, y) 且通过点 P，根据隐函数求导法则，我们可以求出等值线函数在点 P 处的导数，即 -fx(P)/fy(P)。接着，我们可以定义一个向量 V2 = (1, -fx(P)/fy(P))。通过计算 V1 和 V2 的内积，我们会发现它们是正交的，即 V1·V2 = 0。

将这个概念推广到三元函数，等值线升级为等值面，梯度依然是法向量。这个证明过程与二元函数的情况相同。因此，梯度的方向实际上是等值线的法向量，而不是等值面的法向量。

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