首先，我想说，数学是个很严密的东西，不是小学的推理游戏，试问光给出前5项，如何求出通项？

退而其次，楼主想要的答案，大概是菲波那契数列的通项吧

菲波那契数列：任何一项的值等于前两项相加，第一项和第二项是1

用数学语言表示就是

X1=1,X2=1,Xn=Xn-1+Xn-2

这个楼上说了。。。但是楼主想要通项的话，得继续，提醒楼主有心理准备，该通项是无理数的，不是小学推理的那种通项。。。

下面介绍两种方法：

1。正规解法

正规需要用特征根方法来解这道题:

如果允许用特征根方法直接来求解的话,相当简单

Xn=Xn-1+Xn-2

特征根方程：X方=X+1,X方-X-1=0

特征根:X=(1+根号5)/2或者(1-根号5)/2

所以,通项公式:

Xn=A*((1+根号5)/2)^n+B*((1-根号5)/2)^n ...^n代表n次方

然后代入前两项

X1=1,X2=1求出A,B

求A,B过程:

1=A*(1+根号5)/2+B*(1-根号5)/2 ...(1)

1=A*(6+2*根号5)/4+B*(6-2*根号5)/4 ...(2)

(1)式两边同乘以(6+2*根号5)*2得到(3),(2)式两边同乘以(1+根号5)*4得到(4):

2*(6+2根号5)=A*(1+根号5)(6+2根号5)+B*(1-根号5)(6+2根号5) ...(3)

4*(1+根号5)=A*(6+2根号5)(1+根号5)+B*(6-2根号5)(1+根号5) ...(4)

(3)-(4)，A被消去，得到：

8=B*(6-6根号5+2根号5-10)-B*(6-2根号5+6根号5-10)

即

8=B*(-8根号5)

B=-1/根号5

然后把B带入最早的(1)式

1=A*(1+根号5)/2-(1-根号5)/2根号5

即

1+[(1-根号5)/2根号5]=A*(1+根号5）/2

即

(1+根号5)/2根号5=A*(1+根号5)/2

A=1/根号5

所以Xn=(1/根号5)*((1+根号5)/2)^n-(1/根号5)*((1-根号5)/2)^n

完毕！！！！！！！！！！

2。附上另一种通俗的解法

如果特征根方法还没有学到。。。或者不能用。。。

那得先证明一下前面用到特征根方法的那一步

即为什么已知Xn=Xn-1+Xn-2，可以得到

Xn=A*((1+根号5)/2)^n+B*((1-根号5)/2)^n,A=1/根号5，B=-1/根号5

以下便是偶自己的比较通俗容易理解的解法：

Xn=Xn-1+Xn-2

推出Xn - Xn-1*(1+根号5)/2

=Xn-1*(1-根号5)/2+Xn-2

=(1-根号5)/2 * (Xn-1 + Xn-2*2/(1-根号5))

=(1-根号5)/2 * (Xn-1 - Xn-2*(1+根号5)/2)

令Yn=Xn-Xn-1*(1+根号5)/2

则Yn=(1-根号5)/2 * Yn-1

而Y1=X1-X0*(1+根号5)/2(事实上菲波那契数列可以拓展到X0=0)

Y1=1

所以Yn=((1-根号5)/2)^(n-1)

故Xn-Xn-1*(1+根号5)/2=((1-根号5)/2)^(n-1)

推出

Xn=Xn-1*(1+根号5)/2 + ((1-根号5)/2)^(n-1) ...(5)

待定系数法

令Zn=Xn+a*((1-根号5)/2)^n，a为某常数

使得(5)是能够简化为

Zn=Zn-1*(1+根号5)/2

则Xn+a*((1-根号5)/2)^n=[Xn-1+a*((1-根号5)/2)^(n-1)]*(1+根号5)/2

则Xn=Xn-1*(1+根号5)/2 + a*((1-根号5)/2)^(n-1) *(1+根号5)/2 - a*((1-根号5)/2)^n

Xn=Xn-1*(1+根号5)/2 + a*(1-根号5/2)^(n-2) *(-1-(6-2根号5)/4) ...(6)

5，6二式比较得出

a*(-1-(6-2根号5)/4)=(1-根号5)/2

a=(1-根号5)/(-5+根号5)=1/根号5

而因为Zn=Xn+a*((1-根号5)/2)^n

Z1=1+a*((1-根号5)/2)=1+(1-根号5)/2根号5

Z1=(1+根号5)/2根号5

Zn=(1+根号5)/2 *Zn-1=((1+根号5)/2)^(n-1) *Z1

= 1/根号5 *((1+根号5)/2)^n

所以1/根号5*((1+根号5)/2)^n=Zn=Xn + 1/根号5*((1-根号5)/2)^n

推出Xn=1/根号5((1+根号5)/2)^n - 1/根号5*((1-根号5)/2)^n

得证！！！！！！！！！！！与用特征根方法求得相同

偶的第二个方法比较复杂，但其实容易理解:

因为类似Xn=Xn-1+Xn-2的，其实是个二阶的通项方程，因为有3个元参与到这个方程中，所以，最基本的，也是最傻的方法，就是通过待定系数法消元。。。先变成一阶的Xn=Xn-1*(1+根号5)/2 + ((1-根号5)/2)^(n-1)

但是这个一阶的常数项带有n，很难直接解，所以仍然用待定系数法，令Zn=Xn+a*((1-根号5)/2)^n

解出Zn，从而解出Xn

但是，论简单明了，使用特征根绝对是解这类题目的不二法门。。。

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文章来源：天狐定制

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