根据概率的性质可知

0≦P(AB)≦P(A)≦1

0≦P(AB)≦P(B)≦1

因此有

0≦P(AB)P(AB)≦P(A)P(B)≦1

带入欲证明的不等式左边

则有：|P(AB)-P(A)P(B)|≦|P(AB)-P(AB)P(AB)| ---(1)

若能证明上述不等式(1)右边项小于等1/4,即|P(AB)-P(AB)P(AB)|≦1/4 ---(2)

则结论得证。

设P(AB)=x,根据概率知识可知 0≦x≦1， 可得不等式

|x-x^2|≦1/4 -----(3)

|x^2-x+1/4-1/4|≦1/4

|(x-1/2)^2- 1/4|≦1/4

-1/4 ≦ (x-1/2)^2 - 1/4 ≦ 1/4

0≦ (x-1/2)^2 ≦ 1/2 ---(4)

当 0≦x≦1时，上述不等式(4)成立，因此表达式(3)(2)依次成立，故由(1)(2)式得

|P(AB)-P(A)P(B)|≦|P(AB)-P(AB)P(AB)| ≦ 1/4

即不等式 |P(AB)-P(A)P(B)|≤1/4 得证。

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文章来源：天狐定制

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