a-2的绝对值与b-1的绝对值互为相反数

即|a-2|+|b-1|=0

因为绝对值大于等于0，如果和为0，只能两个数都为0，即

a-2=0, b-1=0

则a=2, b=1

则1/(a+n)(b+n)=1/(1+n)(2+n)=1/(1+n)-1/(2+n)

则

1/ab+1/（a+1）（b+1)+1/（a+2)（b+2)+…+1/（a+2008)(b+2008)

=1/1-1/2+1/(1+1）-1/(2+1)+1/(1+2)-1/(2+2)+……+1/(1+2008)-1/(2+2008）

观察上式特点可以发现，原式每一项可分解为两项相减，其中前一项的减号与后一项的加号对应数绝对值相等，可抵消，则最后只剩第一项正号项和最后一项的符号项，即

1/ab+1/（a+1）（b+1)+1/（a+2)（b+2)+…+1/（a+2008)(b+2008)

=1/1-1/(2+2008)

=1-1/2010

=2009/2010

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文章来源：天狐定制

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