（1）解：连接OB ，BC

因为PA ,PB是圆O的切线

所以角OBP=角OAP=角CAB+角PAB=90度

PA=PB

所以三角形PAB是等腰三角形

因为角CAB=30度

所以角PAB=60度

所以三角形PAB是等边三角形

所以角APB=60度

（2）解：因为OA=OB

OP=OP

PA=PB（已证）

所以三角形OAP和三角形OBP全等（SSS）

所以角OPA=角OPB=1/2角APB

因为三角形PAB是等边三角形

所以OP是等边三角形PAB的角平分线

所以OP是等边三角形PAB的角平分线，中线，垂线

所以PA=BA

角APB=60度

角OPA=1/2角APB=30度

AE=BE=1/2AB

角AEO=90度

因为角CAB=30度

所以角CAB=角OPA=30度

因为AB是圆O的直径

所以角CBA=90度

因为角OAP=90度（已证）

所以角CBA=角OAP=90度

所以三角形ABC和三角形PAO全等（ASA）

所以OA=BC

AC=OP

因为AC=8cm

所以OP=8cm

（3）解：因为角ABC=90度（已证）

所以三角形ABC是直角三角形

因为角CAB=30度

所以BC=1/2AC

因为AC=8cm

所以BC=4cm

所以角ABC=角AEO=90度(已证）

所以OE平行BC

所以OE=1/2BC=2cm

因为OP=OE+PE=8cm

所以PE=6cm

(4)解：因为OP是等边三角形PAB的垂线（已证）

所以S三角形ABP=1/2AB*PE

因为三角形ABC是直角三角形（已证）

所以AB^2+BC^2=AC^2

因为AC=8cm

BC=4cm（已证）

所以AB=4倍根号3 cm

所以S三角形ABP=12倍根号3 cm^2

所以三角形ABP的面积是12倍根号3 cm^2

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文章来源：天狐定制

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