矩形的判定和性质:

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，具有平行四边形所有性质．

矩形的性质定理1矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2矩形的对角线相等.

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

矩形的判定方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

我们用一个图直观的看一下矩形的判定：

1.(2019十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )

A.对边相等 B.对角相等

C.对角线相等 D.对角线互相平分

变式1：如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,

以下说法错误的是( )

A.∠ABC=90° B.AC=BD

C.OA=AD D.OA=OB

变式2：(内蒙古包头)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相

交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,

则∠BAE=_______°.

变式3：(西宁中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ACB＝30°,则∠AOB的大小为( )

A.30° B.60° C.90° D.120°

变式4：(怀化中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于

点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长是( )

A. 3cm B. 6cm C. 10cm D.12cm

变式5：(兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,

∠ADB＝30°,AB＝4,则OC＝( )

A.5 B.4 C.3.5 D.3

变式6：(成都中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为_______.

变式7：(2019徐州中考)如图,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,

M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为_______.

变式8：如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,

点E,F分别是AO,AD的中点,若AB＝6 cm,BC＝8 cm,

则△AEF的周长是_______cm.

变式:9：(兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,

CE∥BD,DE∥AC,AD＝4,AB＝2,则四边形OCED的面积为( )

2.直角三角形中,斜边长为12,则斜边上的中线长是( )

A.6 B.4 C.8 D.12

变式1：(漳州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D,E,F

分别是三边的中点,且CF=3cm,则DE=_______cm.

变式2：(2017琼山)如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,

且∠AFB=90°,若∠AB=6,BC=8,则EF=_______.

变式3：(大连中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )

变式4：(西宁中考)如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,

M为AD的中点．若OM＝3,BC＝8,则OB的长为( )

A.5 B.4 C.3 D.6

变式5：(黔南州)如图,矩形ABCD的对角线AC的中点为O,

过点O作OE⊥BC于点E,连接OD,已知AB=6,BC=8,

则四边形OECD的周长为_______.

3.如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=20,则点B到对角线AC的距离是_______.

变式1:(2019安顺中考)若P是AC上一动点,

过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,

连接EF,则线段EF的最小值是_____.

变式2:(宜宾中考)若点P是边BC上的一动点,则点P到

两条对角线AC，BD的距离之和是_____.

变式3：(鞍山中考)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,O是

AD的中点,连接OB,OC,点E在线段BC上(点E不与B,C重合),

过点E作EM⊥OB于M,EN⊥OC于N,则EM+EN的值为______．

4. 在▱ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出▱ABCD是矩形,那么这个条件是( )

A.AB＝BC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD

变式1：(2017邵阳)如图已知▱ABCD,对角线AC,BD相

交于点O,∠OBC=∠OCB.

求证：平行四边形ABCD是矩形.

变式2：(2019江西)如图,四边形ABCD中,AB＝CD,AD＝BC,

对角线AC，BD相交于点O,且OA＝OD.

求证：四边形ABCD是矩形.

变式3：(2019·临沂)如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM＝DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )

A.OM=0.5AC B.MB＝MO

C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND

变式4：(广州期末)如图,在△ABC,AB＝AC,点D为BC的中点,

AE是∠BAC外角的平分线,DE∥AB交AE于E,则四边形

ADCE的形状是_______．

变式5：如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,

点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．

(1)则四边形EFGH是_______;

(2)若AC=8,BD=6,则S四边形EFGH=_______.

变式6：(平顶山二模)如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证:OE＝OF;

(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长;

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,

四边形AECF是矩形？并说明理由．

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文章来源：天狐定制

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