等比数列的核心特性在于每个后续项是前一项的固定倍数q，其中q的值必须是非零的。其中一个显著的性质是，中间项的平方等于首项和末项的乘积，这个中间项被称为等比中项。给定首项a，公比为q，有以下两个关系式：a * q + a * q^2 + a * q^3 = 168 和 a * q^5 - a * q^6 = 42。为了解这个数列的第六项a6，我们可以利用等比数列的公式来简化问题。

首先，我们注意到1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)，通过这个等式，将两个已知的等式相除，可以求得q的值，即q = 1/2。接着，利用已知的a * (1 + q + q^2) = 168，代入q的值，得到a = 96。所以，a6可以通过a与q的幂次相乘得到，即a6 = a * q^5 = 96 * (1/2)^5 = 3。

因此，等比数列的第五项和第七项的等比中项是3，这是通过首项a和公比q的计算得出的直接结果。

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