偶函数和奇函数的判断可以通过代数和几何两种方法进行:

1. 代数判断：首先检查函数的定义域是否关于原点和Y轴对称。如果不对称，则函数既非奇非偶；若对称，若满足f(-x)=-f(x)，则为奇函数；若f(-x)=f(x)，则为偶函数。

2. 几何判断：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于Y轴对称。对于偶函数，如f(x+a)=f(-x-a)，这表明奇偶性可以通过函数值的对称关系进行验证。以下是一些关于函数相加和相乘的性质：

偶函数加偶函数等于偶函数。

奇函数加奇函数等于奇函数。

偶函数加奇函数等于非奇非偶函数。

偶函数乘偶函数等于偶函数。

奇函数乘奇函数等于偶函数。

偶函数乘奇函数等于奇函数。

值得注意的是，奇函数的一个重要特性是f(0)=0，但这并不意味着所有满足f(0)=0的函数都是奇函数，如f(x)=x^2就是一个反例。

特别地，对于定义在实数集R上的奇函数，f(0)必定为0，这是判断奇函数的一个直接依据。当函数在x=0处有定义，且为奇函数时，f(0)=0。

最后，函数同时为奇函数和偶函数的条件是f(x)=0且定义域关于原点对称。在对称区间上的积分，如果被积函数是奇函数，则其定积分结果为零。

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