先约定一下记号:

用'表示转置, Ek表示k阶单位矩阵, 不写下标时表示m+n阶单位阵,

矩阵分块表示为[M,N;P,Q], 其中M, Q分别为m阶和n阶方阵,

列向量相应分块为[X;Y], 其中X, Y分别属于R^m, R^n.

题目叙述为: 若对m×n矩阵A, λ为B = [0,A;A',0]的非零特征值, 则λ²为A'A的特征值.

证法一:

设Z = [X;Y]是B的属于特征值λ的特征向量, 即有BZ = λZ且Z ≠ 0.

由分块乘法知BZ = [0,A;A',0][X;Y] = [AY;A'X].

得AY = λX, A'X = λY, 有A'AY = A'(λX) = λA'X = λ²Y.

而若Y = 0, 由AY = λX及λ ≠ 0, 有X = 0, 进而Z = [X;Y] = 0, 矛盾.

因此Y ≠ 0, 又A'AY = λ²Y, 故Y是A'A的特征向量, λ²是A'A的特征值, 证毕.

证法二:

设C = λE-B = [λEm,-A;-A',λEn], 由λ为B的特征值, 有|C| = |λE-B| = 0.

由λ ≠ 0, 可取分块初等矩阵S = [Em,0;A'/λ,En].

S作为分块下三角矩阵, 可得|S| = |Em|·|En| = 1.

由分块乘法知SC = [λEm,-A;0,λEn-A'A/λ], 是分块下三角矩阵.

有|SC| = |λEm|·|λEn-A'A/λ| = λ^(m-n)·|λ²En-A'A|.

另一方面, |SC| = |S|·|C| = |C| = 0, 而λ ≠ 0, 故|λ²En-A'A| = 0.

即λ²是A'A的特征值, 证毕.

注: 一般分块矩阵的行列式不能直接分块计算, 只能想办法化为分块上(下)三角矩阵来计算.

不过可以证明: 若A, B, C, D都是n阶方阵, 并满足AC = CA, 则|[A,B;C,D]| = |AD-CB|.

证明先从A可逆的情况入手, 用分块初等变换化为分块上三角矩阵计算, 并用条件AC = CA.

对于A不可逆的情况, 先用可逆时的结论证明:

|[A+xE,B;C,D]| = |(A+xE)D-CB|是关于x的恒等式 (左右之差作为关于x的多项式有无穷多个零点),

再取x = 0即得结论 (细节略, 有兴趣的话自己证一下).

实际上只需A或D与B或C可交换, 就能得到类似的结论, 不过形式上稍有区别.

例如AB = BA时成立|[A,B;C,D]| = |DA-CB|.

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文章来源：天狐定制

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