先证必要性: 当∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛.

由数列{a[n]}单调递增, 得a[1]+a[2]+...+a[n] ≤ n·a[n].

又{a[n]}为正项数列, 有1/a[n] ≤ n/(a[1]+a[2]+...+a[n]).

根据比较判别法, 由∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛, 可知∑{1 ≤ n} 1/a[n]收敛.

再证充分性: 当∑{1 ≤ n} 1/a[n]收敛.

对n = 2k-1, 由数列{a[n]}为正项数列, 有a[1]+a[2]+...+a[n] ≥ a[k]+a[k+1]+...+a[2k-1].

又{a[n]}单调递增, 故a[k]+a[k+1]+...+a[2k-1] ≥ k·a[k].

于是n/(a[1]+a[2]+...+a[n]) ≤ (2k-1)/(k·a[k]) < 2/a[k].

对n = 2k, 同理有a[1]+a[2]+...+a[n] ≥ a[k]+a[k+1]+...+a[2k] ≥ (k+1)a[k].

于是n/(a[1]+a[2]+...+a[n]) ≤ (2k)/((k+1)a[k]) < 2/a[k].

因此∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])

= ∑{1 ≤ k} ((2k-1)/(a[1]+a[2]+...+a[2k-1])+(2k)/(a[1]+a[2]+...+a[2k]))

≤ ∑{1 ≤ k} (2/a[k]+2/a[k])

= 4·∑{1 ≤ k} 1/a[k].

由∑{1 ≤ n} 1/a[n]收敛, 即得正项级数∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛.

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文章来源：天狐定制

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