垂直于弦的直径的性质定理。垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧（垂径定理）。

平分弦（不是直径)的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（根据垂径定理的推论）。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，以及这条弦所对的优弧和劣弧。根据这条定理，我们还可以得到这些推论：

1、如果一条直径平分弦(非直径)，那么，这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的优弧和劣弧

2、任意弦的垂直平分线必定经过圆心，并且平分这条弦所对的优弧和劣弧

3、如果一条直径平分弦所对的一条弧，那么，这条直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧

4、在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

圆上有一条任意的弦，这条弦肯定将圆分成两段弧，这条线有肯多条垂线，肯定有一条垂线是过圆心，也就是圆的直径，这条直径肯定是这根弦的垂直平分线。

故答案为：平分弦，并且平分弦所对的两条弧，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的两条弧。

垂直于弦的直径是人教版九年级《数学》上册第二十四章第二节的教学内容,简称为垂径定理，它是在学生学习了轴对称图形,等腰三角形，直角三角形和圆的有关概念的基础上进行教学的。

垂径定理是圆众多知识中的一个重要的性质,利用垂径定理可以简化线段的计算，线段相等的证明以及弧相等的证明，等等。垂径定理的内容是:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧，其中主要涉及三个量，分别为：直径,弦和弦心距。

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