(1) 设[公式]为底层样本空间. 若 [公式]-代数 [公式] 则构成可测空间 [公式]. (2) 每一个 [公式]对应的基本事件为不可再分割的单个情况; (3)由基本事件通过并、补运算得到的其他集合称为复合事件 [公式].

[公式] 其中 [公式]为 [公式]上的 Borel [公式]-代数，是通过所有 [公式] 维开矩体生成的最小 [公式]-代数，称为观测样本空间. 每个观测空间中的元素都是一个实向量，对应 [公式]个分量.

[公式]为 [公式]上的随机变量 [公式]，[公式]为 [公式]上的 [公式]-可测函数，即: [公式]. 可测性确保了后续可对 [公式]定义分布.

设[公式]为 [公式]-随机变量. 记 [公式]. 可证 [公式]为[公式]的子σ-代数. 则称 [公式]为[公式]诱导 [公式]-域. 由于 [公式]为对底层样本空间在数值上的汇总，[公式]的测度仅需在[公式]回溯到[公式]时保持一致性，而汇总必然保留部分信息，因此[公式]是[公式]最大的回溯能力.

(1) 集函数 [公式] 显然继承 [公式]的非负性；(2) 对 [公式]两两无交的集列 [公式], [公式].至此, [公式]已成为测度，只需再证归一性：(3)显然 [公式], 反之[公式].

由已知, 诱导概率测度[公式]与分布函数[公式]一一对应. 随机变量[公式]在[公式]上的定义等同于[公式]上的定义. 对随机变量的理解分为三层: (1)最简单的理解，随机变化的数；(2)在底层样本空间[公式]上的可测函数；(3)在观测样本空间[公式]上的可测函数.

(1)随机机制与概率测度：通过确定性模拟不确定性，底层样本空间[公式]包含所有明确发生的事件，通过在[公式]上建立概率测度[公式]，规定了各类事件发生的可能性大小，构建了随机机制[公式]. (2)随机变量在[公式]的作用：底层概率测度空间[公式]或为主观赋予的prior information，现实观测中通过[公式]的取值分析[公式]的观测概率空间[公式]. (3)诱导概率测度[公式]由底层测度[公式]和随机变量[公式]决定，不同[公式]将诱导出不同的观测空间测度：测度变换.

(1)勒贝格积分的起源：为了在抽象空间[公式]上建立"体积"，对定义该空间上函数[公式]进行积分，通过从函数值切分，寻找函数值对应的原像[公式]的测度，再进行乘积. (2)简单函数定义：[公式]上的一个partition [公式]. 设[公式]，[公式]中各项互不相同. 则[公式]为简单函数[公式]. (3)点收敛定义：[公式]为[公式]上的非负可测函数，[公式]为由非负简单函数[公式]构成的函数列.

(1)简单函数的勒贝格积分定义：设[公式]. 则[公式]. (2)一般可测函数的勒贝格积分：[公式]

(1)勒贝格控制收敛定理：设[公式]均在[公式]上可测. 点收敛定理说明[公式]存在极限函数[公式]. 若[公式]为非负可积函数，且[公式]满足条件[公式]，则[公式]的勒贝格积分[公式]收敛于[公式]的勒贝格积分[公式].

(1)区别：Riemann积分先划分定义域，再取函数值的平均值；Lebesgue积分先划分值域，再取原像测度的和. (2)共性：两者均通过函数值乘以自变量小区间的测度来逼近积分收敛值.

[公式]的数学期望定义：取[公式]，期望[公式]即是以[公式]对[公式]的不同取值进行概率加权平均. 累积分布函数[公式]可以完全描述由[公式]诱导的概率测度[公式]，[公式]与[公式]一一对应.

(1)累积分布函数[公式]的定义：[公式]. 由于[公式]，则[公式]可以完全描述测度[公式]：[公式]与[公式]一一对应. 注意，符号上[公式]，概率密度正是在观测样本空间[公式]上，诱导概率测度[公式]对平凡概率测度[公式]的Randon-Nikodym导数.

下一节将介绍条件期望、条件概率测度和独立性.

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