“连续可导”在数学分析中，指的是函数在某点连续，并且在该点可导。但导数的连续性并非必然伴随函数连续性而存在。函数可导，并不意味着其导函数一定连续。这一概念可通过查阅《分析中的反例》或数学分析教材得到验证。

连续函数的变上限积分确实具有连续性，并且通常情况下可导。然而，函数在某点不可导，比如在x=0处，可能因为函数本身不连续。在x=0处，函数左连续，因此存在左导数，可利用f(x)=x+1的导数公式计算。但x=0处右连续性缺失，导致不存在右导数。

总结而言，函数可导意味着它是连续的，但导函数的连续性则无法确定。导函数的左导数和右导数，实质上是通过极限来定义的，但它们描述的是原函数的极限性质，而非导函数本身的连续性。记住这条结论，对于解决相关数学问题大有裨益。以函数f(x)为例，当f(x) = x^2 (x ≥ 0) 或 f(x) = -x^2 (x < 0)，函数处处可导，但导数f′(x) = 2|x|在x=0点不可导，也即不连续。再举一例，g(x) = x^2×sin(1/x)，除x=0外处处可导。若补充定义g(0)=0，计算可得g'(x) = 2x×sin(1/x)-cos(1/x)。在x=0处，虽然g'(0)可定义为0，但导数函数g'(x)在包含x=0的区间内并不连续，说明连续性与导数连续性存在差异。

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文章来源：天狐定制

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