射影定理的核心内容是关于面积的，被称为面积射影定理。该定理表述为：当一个平面图形经过射影后，其面积与原图形面积之间的关系可以表示为被射影图形面积S乘以其所在平面与射影面之间夹角的余弦值，即S射影 = S原 × COSθ。其中，θ指的是平面多边形与其射影之间的锐二面角，S原是原图形的面积，S射影则是射影后的面积。

定理的证明基于射影的几何性质。射影会将原图形的长度（三角形中称为高）进行缩放，但保持宽度不变。在平面多边形中，面积比等于边长的平方比。因此，射影后图形面积的变化，实质上反映了原图形长度比例的变化，也就是两个平面所成角的余弦值。为了进一步说明，我们可以在两个平面中构建一个直角三角形，其中斜边垂直于原多边形平面和射影平面的交线。这样，三角形的斜边和另一条直角边代表了原多边形长度的比值，也就是面积比。将这个比例应用到直角三角形的面积计算中，便能得到射影定理的证明。

扩展资料

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD（可用面积来证明）

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