解题思路：（1）利用已知条件，说明函数是奇函数，求出b的值，利用函数与x轴相切，求出a的值即可；

（2）利用h（x）= λ• f′(x) x +sinx 的导数，通过曲线上存在相互垂直的两条切线，斜率乘积为-1，通过三角函数的有界性，求实数λ的取值范围；

（3）假设存在m，n符合题意：通过（A）当m＜0时，可得 g(m)＝m g(n)＝n ，即m，n是方程g（x）=x的两个相异负根，推出p（x）=x 3-x+3（x＜3），p′（x）故p（x）至多在（-∞，- 3 3 ）有一个零点，此时m，n不存在．

通过（B）当m≥0时，因g（x）=3-x 3在区间[m，n]上是减函数，利用 g(m)＝n g(n)＝m ⇒ m 3 +n＝3 n 3 +m＝3 ，与条件矛盾，此时m，n不存在

通过（C）当m＜0≤n时，说明p（x）=x 3-x+3在（-∞，-24]上递增，推出无满足m的解，不存在．

（1）由f（-x）=-f（x）可得，b=0，

设曲线C与x轴切于T（t，0），

则

f(t)＝0

f′(t)＝0⇒

t3+at＝0

3t2+a＝0⇒a=t=0⇒f（x）=x3．

（2）h（x）=λ•

f′(x)

x+sinx=3λx+sinx，h′（x）=3λ+cosx（x≠0），

设切点（t1，h（t1））（t2，h（t2））⇒h′（t1）•h′（t2）=-1

则（3λ+cost1）（3λ+cost2）=-1，⇒9λ2+3（cost1+cost2）λ+cost1cost2+1=0．

故△=9（cost1+cost2）2-36（cost1cost2+1）≥0⇒（cost1-cost2）2≥4，

又-1≤cost1cost2≤1⇒（cost1-cost2）2≤4⇒cost1-cost2=4，

此时cost1=1，cost2=-1或者cost1=-1，cost2=1可得λ=0．

（3）g（x）=

3+x2， x＜0

3−x2 ，x≥0，假设存在m，n符合题意：

（A）当m＜0时，可得

,1,曲线C：f（x）=x 3+ax+b关于坐标原点对称，且与x轴相切．

（1）求a，b的值；

（2）若曲线G：h（x）= λ• f′(x) x +sinx 上存在相互垂直的两条切线，求实数λ的取值范围；

（3）是否存在实数m，n，使函数g（x）=3-|f（x）|的定义域与值域均为[m，n]？并证明你的结论．

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文章来源：天狐定制

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