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相似性的合比性质和等比性质有哪些

作者:职业培训 时间: 2025-01-22 21:52:30 阅读:957

比例的性质

(1)基本性质如果a/b=c/d,那么ad=bc(b,d≠0).即比例中,两外项的乘积等于两内项的乘积。反之也成立,即如果ad=bc,那么a/b=c/d(b,d≠0)。(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d(b,d≠0).证明:∵a/b=c/d,∴a/b+1=c/d+1,即(a+b)/b=(c+d)/d。(3)分比性质如果a/b=c/d,那么(a-b)/b=(c-d)/d(b,d≠0).证明:∵a/b=c/d,∴a/b-1=c/d-1,即(a-b)/b=(c-d)/d。

(4)合分比性质

如果a/b=c/d,那么(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d).

证明:∵a/b=c/d,

∴(a+b)/b=(c+d)/d①

(a-b)/b=(c-d)/d②

①÷②,得(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d).

(5)反比性质

如果a/b=c/d,那么b/a=d/c(a,b,c,d≠0).

证明:∵a/b=c/d,

∴1÷a/b=1÷c/d,即b/a=d/c。

(6)更比性质

如果a/b=c/d,那么a/c=b/d或d/b=c/a。

证明:∵a/b=c/d,

∴ad=bc,

∴a/c=b/d或d/b=c/a

(7)等比性质

如果a1/b1=a2/b2=...=an/bn,且b1+b2+...+bn≠0,那么(a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn)=a1/b1.

证明:设a1/b1=a2/b2=...=an/bn=k(k≠0),

则a1=kb1,a2=kb2,...,an=kbn,

∴(a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn)

=(kb1+kb2+...+kbn)/(b1+b2+...+bn)

=k(b1+b2+...+bn)/(b1+b2+...+bn)

=k=a1/b1.

等比性质的推广:(1)根据等比性质可知,相似多边形周长的比等于它们的相似比。

(2)如果a1/b1=a2/b2=...=an/bn=k(n为奇数,k≠0),且b1+b3+...+bn≠0,那么(a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn)=(a1+a3+...+an)/(b1+b3+...+bn)=k.

证明:∵a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3,....,an=kbn,

∴(a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn)=k,

∴(a1+a3+...+an)/(b1+b3+...+bn)

=(kb1+kb3+...+kbn)/(b1+b3+...+bn)

=k(b1+b3+...+bn)/(b1+b3+...+bn)

=k

∴(a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn)=(a1+a3+...+an)/(b1+b3+...+bn)=k.

2.比例性质的应用

(1)利用比例的性质进行计算

例1.已知a/b=2,求(a+b)/(a-b)的值。

解法1.(代入法)∵a/b=2,∴a=2b,

把a=2b代入(a+b)/(a-b)=(2b+b)/(2b-b)=3.

解法2.(参数法)∵a/b=2,∴设a=2k(k≠0),则b=k.

把a=2k,b=k代入(a+b)/(a-b)=(2k+k)/(2k-k)=3.

例2.已知(x+3y)/2y=7/2,求x/y的值。

解法1.(直接利用比例的基本性质)由比例的基本性质,得2(x+3y)=14y,

∴x=4y,∴x/y=4.

解法2.(逆用分式的加法将原式变形)由已知条件,得x/2y+3/2=7/2,

∴x/2y=2,∴x/y=4.

解法3.(先化简,再逆用分式的加法)有已知条件,得(x+3y)/y=7,

∴x/y+3=7,∴x/y=4.

(2)设辅助元素求值

例3.已知a,b,c满足(a+4)/3=(b+3)/2=(c+8)/4,且a+b+c=12,试求a,b,c的值。

分析:设辅助元素求解 。

解:设(a+4)/3=(b+3)/2=(c+8)/4=k(k≠0),

得a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8.

∵a+b+c=12,

∴3k-4+2k-3+4k-8=12

解得k=3,

∴a=5,b=3,c=4.

例4.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且(a-c):(a+b):(c-b)=(-2):7:1.试判断△ABC的形状。

解:设a-c=-2k,a+b=7k,c-b=k(k≠0),

解得a=3k,b=4k,c=5k

∴△ABC的三边a,b,c满足勾股数,即a^2+b^2=c^2,

∴△ABC是直角三角形。

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