微积分基础教程 第2.3期 函数的极限（二）：左右极限与性质详解

在前一期中，我们探讨了函数极限的定义，以及极限不存在的情况。当我们考虑函数[公式]的极限时，通常会分为左右两侧来分析。从比0小的左侧靠近时，函数[公式]的左极限[公式]趋于1，记作[公式]；从比0大的右侧接近，函数[公式]的右极限是0，表示为[公式]。

严格定义左极限和右极限如下：当函数在某个小区间[公式]内定义，对于[公式]，存在常数[公式]，对任意[公式]，存在正数[公式]，只要[公式]，就有[公式]，则称[公式]时函数[公式]具有左极限[公式]。右极限定义类似，用[公式]表示。

一个重要的结论是，函数在某点的极限存在，等价于左右极限都存在且相等。然而，需要注意的是，函数的左右极限并非总是存在的，例如狄利克雷函数[公式]，它在0点没有左右极限。这提示我们在讨论极限时，必须确保极限的存在性。

函数的极限具有以下性质：唯一性，即极限值唯一；局部有界性，意味着在某点附近的函数值是有限的；局部保号性，如果函数在某点有正（负）极限，那么在该点附近函数值保持正（负）；与数列极限的紧密关系，即函数极限与数列极限可以相互转化（Heine定理）。

了解这些概念和性质对于深入理解微积分至关重要。在接下来的内容中，我们将更深入地探讨函数极限的性质及其应用。敬请期待下一期的讲解。

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文章来源：天狐定制

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