1.设积分域为 x ∈(-∞,+∞)

令：F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx

同样 F= (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy

由于x,y是互不相关的的积分变量,因此：

F² = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx * (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy

= [D]∫∫e^(-x²)*dx * e^(-y²)*dy

= [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy

式中积分域D = {(x,y)|x ∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)}

对x,y进行极坐标变换,则:

x²+y² = ρ²；dxdy = ρ*dρ*dθ

F² = [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy

= [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ²) ρ*dρ*dθ

= [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-ρ²) ρ*dρ

= 2π* 1/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ²) *dρ²

= π

因此 F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx = √π

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文章来源：天狐定制

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