先指出你一个错误，DE不是AB的中线，不能直接得出ED=EC。

我想你本来想用的定理是直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，但在这里不适用。

（方法1）连接OD、OE，

由O、E分别是BC、AC中点，得OE//AB

同位角∠COE=∠B

圆周角等于圆心角的一半，∠COD=2*∠B

所以∠DOE=∠COD-∠COE=2*∠B-∠B=∠B=∠COE

△COE≌△DOE（SAS：半径CO=DO、∠COE=∠DOE、公共边OE=OE）

∠ODE=∠OCE=90度，所以DE是切线

（方法2）连接OD、CD、OE，CD和OE交于G

由O、E分别是BC、AC中点，得OE//AB

由BC是直径得∠CDB是直角，CD⊥AB，则CD⊥OE

又半径OD=OC，△DOC是等腰△，∠ODC=∠OCD

而OE⊥底边CD，则OE是CD的垂直平分线，

因为E是垂直平分线上的点，ED=EC，∠EDC=∠ECD

∠ODE=∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=∠OCE=90度，所以DE是切线

（方法3）连接OD、CD、OE

因OB=OD，得∠B=∠BDO

由O、E分别是BC、AC中点，得OE//AB，内错角∠DOE=∠BDO=∠B

由BC是直径得∠CDB是直角，CD⊥AB，则CD⊥OE

∠DCA与∠DCB互余，∠B与∠DCB互余，则∠DCA=∠B=∠DOE

故O、D、E、C四点共圆，所以∠ODE=∠OCE=90度，所以DE是切线

如果没学过奥数里的四点共圆的话，忽略方法3

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文章来源：天狐定制

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