点与直线是射影平面上的基本元素，平面射影几何主要研究点与直线以及它们的相互关系，统称为结合关系。在一个仅涉及点与直线以及它们的结合关系的命题中，把点改成直线，直线改成点，结合关系也作相应的改变。例如，两点连线中点改成直线，直线改成点得到：两直线交点；又例如，三点共线改成三直线共点，这样改变以后得到一个新的射影几何命题，称为原命题的对偶命题，下面是一些互为对偶的命题 ：

(1)两点决定一直线，即过两不同点有且只有一条直线。

(1)'两直线有且只有一个交点。

(2)由不共线的三点及它们的两两连线构成的图形叫三点形。

(2)'由不交于一点的三直线及它们的两两交点构成的图形叫三线形。

三点形

(3)射影坐标下，三点A，B，C共线的充要条件是。

三点形

三点形

(3)'射影坐标下，三直线共点的充要条件是。

(4)如果两个三点形的对应顶点连线交于一点，则它们的对应边交点共线。

(4)'如果两个三线形的对应边交点共线，则它们的对应顶点连线共点。

(5)四点中总有三点共线(不成立)。

(5)'四直线中总有三直线共点(不成立)。

从上面可以看出，如果一个射影几何的关于点，直线以及它们的结合关系的命题是真实的，它的对偶命题也是真实的，对偶命题是相互的，即如果命题B是A的对偶命题，那么A也是B的对偶命题。上述对偶命题中(4)是Desargues定理，而(4)'实际上是它的逆定理。

在射影几何的对偶中，点与直线是最基本的对偶元素，“点在直线上”与“直线过点”是最基本的对偶关系。

对偶原理在平面射影几何里，如果一个关于点和直线的结合关系的命题成立，则它的对偶命题也成立。

射影几何可以用公理法来定义并讨论，对偶原理也可用公理法证明。一种射影映射——对射，它把点变成直线，直线变成点，而点与直线的结合关系仍能保持，利用对射可以证明对偶原理，在射影坐标下，计算两点连线与两直线交点的方法、判断三点共线与三线共点的方法都是一样的，只要把点与直线的坐标互换 。

本文地址： http://www.goggeous.com/i/1/949544

文章来源：天狐定制

版权声明：除非特别标注，否则均为本站原创文章，转载时请以链接形式注明文章出处。