暑期随笔：非线性PDE中的极大值原理详解

暑假闲暇之际，本文探讨了非线性偏微分方程（PDEs）中的一个关键原理——极大值原理，它与粘性解的形成以及比较定理紧密相关。在非线性方程的研究中，与高阶线性PDEs的Sobolev理论不同，非线性问题的解的适定性复杂，尤其是对于一阶和二阶非线性方程。

对于一阶问题，尽管线性方程有明确的Sobolev理论支持，但非线性情况下的极大值原理成为解决难题的关键。Crandall-Lions在粘性解定义上做出了重要贡献，他们利用乘法求导法则，将解的导数转换，从而给出了粘性解的直观理解。

二阶非线性PDEs则涉及动态规划和双曲守恒律，这些领域的联系揭示了弱解为何采用粘性解形式。通过Lax-Oleinik半群和Lagrangian函数，粘性解与控制系统的动态规划问题以及守恒律的熵解相对应，强调了粘性解在理论中的核心地位。

极大值原理不仅与边界上解的最大值有关，还证明了在带边流形上的Cauchy问题解的唯一性。对于二阶方程，极大值原理MP2'与退化椭圆条件紧密相连，为粘性解的定义提供了数学依据。

比较定理进一步巩固了极大值原理的应用，要求方程满足正定性和退化椭圆条件。非经典情况下，需要考虑集值函数的特定增长性和模连续性，以确保比较定理的成立。

本文通过一系列定理和引理，揭示了非线性PDE中的极大值原理如何驱动问题解决，并展示了在函数逼近和凸分析中的应用，为理解和解决这类问题提供了关键的理论基础。

[1] M. Crandall and P.-L. Lions, Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, TAMS, 1983.

[2] M. Crandall, L. Evans, and P.-L. Lions, Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, TAMS, 1984.

[3] M. Crandall, H. Ishii, and P.-L. Lions, User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, BAMS, 1992.

[4] M.-O. Czarnecki and L. Rifford, Approximation and regularization of Lipschitz functions: convergence of the gradients, TAMS, 2006.

[5] A. Fathi, Viscosity solutions of the Hamilton-Jacobi equation on a non-compact manifold.

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文章来源：天狐定制

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