1、几何证明法：

过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率乘以(A到准线的距离+B到准线的距离)= 2倍离心率·AB中点到准线的距离。

设AB中点为M,若FA ≥ FB,则F在线段BM上。

M到准线的距离 ≥ B到准线的距离,可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离。

而AB为通径时,M到准线的距离 = F到准线的距离。

此时M到准线的距离取到最小值,于是AB长度也取得最小值。

2、代数方程法：

设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1

过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不存在)。

然后方程联立，利用弦长公式可整理成关于m的函数式。

从中求出当且仅当m=0时,弦长最短。

扩展资料：

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处，抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

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