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矩阵合同的充要条件总结

作者：职业培训 时间： 2025-01-11 13:56:24 阅读：487

对于实对称矩阵A与B合同这一概念，其充要条件可以从必要性和充分性两个方面来解释。

必要性方面，如果实对称矩阵A与B合同，则存在可逆矩阵C，使得(CTAC)=B。设X=CY，代入二次型XTA X，可得YTB Y，这表示第一个二次型通过可逆线性变换X=CY转化为第二个二次型，两者可以化成相同的标准形。可逆线性变换能够进行复合，因此这两个二次型具有相同的正负惯性指数。

充分性方面，若两个二次型XTA X与YTB Y拥有相同的正负惯性指数，由于二次型的规范型唯一，它们必然具有相同的规范型，设此规范型的矩阵为H，则A和B都与H合同。根据合同关系的对称性和传递性，可以得出A与B合同。

上述结论的证明过程较为简洁，详细内容可查阅相关教材。

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