λ 的作用：相当于一条直线相对于另一条直线 的 所有可能情况下的 斜率

证明：当A1x+B1y+C1=0且A2x+B2y+C2=0时,直线系方程成立.则它过两直线的交点.

(1)当斜率存在时：

将A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0化成斜截式得到斜率k=-(A1+λA2)/(B1+λB2)=-(A2(B1+λB2)/B2+A1-A2B1/B2)/(B1+λB2)=-(A2/B2+(A1-A2B1/B2)/B1+λB2)=k1+k2/x *

此时λ≠-B1/B2

由于两直线有交点,不平行,则A1/B1≠A2/B2,则k2≠0,y=k2/x取遍除0以外所有的实数,则(*)式满足k≠-A2/B2,又A2x+B2y+C2=0的斜率为-A2/B2.

所以直线系方程涵盖了所有斜率.

(2)斜率不存在.则λ=-B1/B2,此时必定A1+λA2≠0,平行于y轴的直线存在.

综上所述,直线系方程涵盖了所有情况.满足要求。

注：其实直线系方程的写法有很多种,只要满足所有可能情况就行.比如设那两条直线的交点为(x0,y0),过这一点的直线系方程为y-y0=k(x-x0)和x=x0,其中k为参数.它们的意义是相同的.

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文章来源：天狐定制

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